Testing For A Moving Average Unit Root

Testing für Unit Roots. Time-Serie Analyse ist über die Identifizierung, Schätzung und Diagnose-Überprüfung der stationären Zeitreihen Zur Überprüfung bieten wir die folgenden Definitionen. Definition Die Sequenz heißt Kovarianz stationär, wenn für alle t und ts. Das ist, Der Mittelwert, die Varianz und die Kovarianz sind unveränderlich für die Zeit Herkunft. Definition Angenommen, wir haben die Sequenz tt 0,1,2, mit Mittelwert m und Varianz s 2 Dann ist die Autokorrelationsfunktion oder Korrelogramm gegeben. Stellen wir eine Reihe t, die Wir wissen, dass wir von einem AR 1 - Prozess generiert wurden, sagen wir, wo und et ist weißes Rauschen Wir können die Parameter in 1 von OLS abschätzen. Unser Schätzer ist effizient und die Serie ist stationär, da wir eine T-Statistik verwenden können, um die Hypothese zu testen. Dies ist ein legitimer Test, da die Null ist eine widerlegbare Hypothese, obwohl die Macht gegen eine lokale Alternative ist vernachlässigbar Aber annehmen, dass die Daten wirklich generiert wurde. Upon rekursive Substitution kann dies umgeschrieben werden, wie ist das nicht Nstationary da da t groß wird Jetzt wollen wir testen. Es gibt ein Problem, da jedoch das Zentrum der Masse des üblichen Schätzers von 1 abgegrenzt wäre, würden wir dazu neigen, auf der Seite der Ablehnung zu viele H & sub0; Die Frage nach dem Vorhandensein einer Einheitswurzel ist bei Regressionsmodellen der Art besonders problematisch. Wir nehmen in der Regel an, dass t und t beide stationär sind und dass et weißes Rauschen ist. Wenn die beiden Variablen nicht stationär sind, werden wir wahrscheinlich störende Ergebnisse hoch R 2 erhalten Und statistisch signifikante Koeffizienten, obwohl es nicht wirklich eine sinnvolle Beziehung zwischen y und z gibt. Es gibt vier Fälle zu berücksichtigen. Bei t und t sind stationär und das klassische Regressionsmodell ist o k. Die Sequenzen t und t sind in verschiedene Aufträge integriert Regressionsmodelle, die solche nichtstationären Serien enthalten, sind bedeutungslos. Die nichtstationären t und t sind beide integriert von Ordnung 1, und der Fehlerterm hat eine stochastische Drift Nun sind alle Fehler permanent. Das ist E teti Et Aber wir können OLS mit gutem Effekt anwenden, und t sind integriert von der gleichen Reihenfolge und die restliche Sequenz ist stationär Dann werden t und t als kointegriert. Zum Beispiel sind t und t Einheit Wurzelprozesse, aber yt - zte Yt - e zt ist stationär Wir lassen Fall 4 bis zum Kapitel über die Kointegration Für jetzt werden wir uns mit der Feststellung, ob die Serie t hat eine Einheit root. Dickey-Fuller Tests. Besuchen Sie die Datenerzeugung Prozess. Und die zugehörige Frage , Ist ein 1 1 Subtrahieren y t-1 von beiden Seiten zu bekommen. g 0 impliziert eine 1 1 impliziert eine Einheit Wurzel in t. Wir können Drift, indem Sie einen Intercept. Definition Der Begriff stochastische Drift kommt aus dem folgenden Angenommen, dass Der Prozess ist. Wir können dies umschreiben. Während der nächsten Periode, iet 1, ist der Intercept aoa 1 t 1 größer, zu dem wir einen stochastischen Ausdruck hinzufügen Wir haben diese Idee von einem stochastischen Intercept an anderer Stelle gesehen Namentlich im zufälligen Effektmodell. Wir erlauben einen linearen Trend mit Drift. In jedem Fall, unsere t Est der Hypothese ist. Die Teststatistik, die wir für den Test der Hypothese verwenden, wird als t-Statistik konstruiert. Das ist. Die kritischen Werte stammen aus einer Reihe von Tabellen, die von Dickey und Fuller erstellt wurden. Die Tabellen wurden empirisch erzeugt. Wir sind daran gewöhnt, Tests durchzuführen Mit kritischen Werten haben wir analytisch durch die Integration einer bekannten Verteilungsfunktion bestimmt. Die jeweilige zu verwendende Tabelle hängt davon ab, ob das Modell einen Intercept oder einen Trend hat. Allerdings werden die kritischen Werte nicht durch Einbeziehung von Begriffen auf der rechten Seite verändert Um dir in der Testprozedur zu begleiten, betrachte das folgende Flußdiagramm von Walter Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995 Man beginnt in der oberen linken Ecke mit dem allgemeinsten Modell, das eine stochastische Drift und einen deterministischen Trend beinhaltet Trend oder die Drift kann das Aussehen einer Einheit Wurzel in ihrem eigenen Recht zu produzieren, so müssen sie am Anfang aufgenommen werden Recall, dass eine ausgeschlossene relevante Variable führt Bias, aber Eine eingeschlossene irrlevante Variable hat nur einen Wirkungsgrad, wenn der Nullpunkt einer Wurzel nicht abgelehnt wird, dann durch die Prüfung auf die Bedeutung des Trendbegriffs in Gegenwart eines Einheitswurzels, wenn der Trendbegriff nicht signifikant ist, dann testen Für die Bedeutung der Drift-Term Wenn auf dem Weg finden wir, dass entweder der Trend oder die Drift ist nicht Null, dann gehen wir sofort auf die Prüfung der Bedeutung von g zu testen. Die folgenden Modelle wurden fit für die Federal Reserve Bank Produktions-Index für Die Periode 1950 1 - 1977 4, insgesamt 112 Beobachtungen In allen drei Modellen sind die Zahlen in Klammern Standardfehler Der allgemeinste Modus, der dem Beginn des Flußdiagramms entspricht, ist die 5 Teststufe 2 5 in jedem Schwanz Der kritische Wert für den Koeffizienten auf y t-1 für ein Modell mit Drift und Trend ist -3 73, verglichen mit einer beobachteten Teststatistik von 3 6, so dass wir die Null nicht ablehnen. Für den Augenblick glauben wir, dass es eine Einheit ist Wurzel Als nächstes passen wir ein Modell, das t auferlegt Er beschränkung, dass g 0, und testen, um zu sehen, ob der Trendkoeffizient null ist. Beachten Sie, dass auf der Basis eines herkömmlichen t-Tests der Trendkoeffizient hoch signifikant ist. Ein Modell mit Drift, aber kein Trend und das vermutet, dass es eine Einheitswurzel gibt Ist. Now der Test der Hypothese ist. H o Einheit Wurzel, kein Trend H 1 eine oder beide nicht wahr. Die entsprechende Test-Statistik ist so konstruiert, als wäre es ein F-Test, aber der kritische Wert wird aus einem anderen Satz von gelesen Tabellen. Der kritische Wert auf der 5-Ebene ist 6 49, so dass wir nicht ablehnen, die null Unsere Schlussfolgerung zu diesem Punkt ist, dass es eine Einheit Wurzel und dass der Trend ausgeschlossen werden sollte. Modell mit weder Drift noch Trend, aber welche Voraussetzt eine Einheit Wurzel ist. Der Test der Hypothese ist. H o Einheit Wurzel, kein Trend, keine Drift H 1 eine oder mehrere gehören. Der kritische Wert auf der 1 Ebene der Prüfung ist 6 50 Da unsere beobachtete Test-Statistik ist kleiner als die Kritischer Wert, wir scheitern, die Null abzulehnen Unsere Schlussfolgerung ist, dass es eine Einheit Wurzel gibt, gibt es weder tren D noch drift. Extension von Dickey-Fuller. Stellen Sie, dass die Datenerzeugung Prozess ist. Dies ist ein bisschen allgemeiner als der Prozess, den wir begannen mit Es wird auch zugeben, eine Vielzahl von Wurzeln Wir müssen Dickey-Fuller zu erhöhen, um zu testen Für diese Möglichkeit Betrachten wir den AR 3 Prozess. Wir addieren und subtrahieren ein 3 y t-2 zu bekommen. Now add und subtrahieren ein 2 a 3 y t-1 zu bekommen. Finally, subtrahieren y t-1 von beiden Seiten. Nun können wir auf das Vorhandensein einer Einheitswurzel testen Wir wissen, dass, wenn die Koeffizienten in einer Differenzgleichung zu einer dann mindestens einer Wurzel einheitlich sind. Im vorliegenden Kontext handelt es sich dabei um das Testen von g 0, wie im einfacheren Fall Werte für dieses erweiterte Modell bleiben die gleichen wie vorher Parenthetisch, Hinzufügen eines Zeitverlaufs verursacht Kopfschmerzen, wenn es Zeit ist, die großen Stichprobeneigenschaften des OLS-Schätzers abzuleiten, da xx nicht mehr endlich elementweise ist. Probleme mit DF und erweitertem DF .1 Der Fehlerbegriff kann einen bewegten durchschnittlichen Term in ihm haben. Suchen Sie AL y T CL et und die Wurzeln von CL liegen alle außerhalb des Einheitskreises, also ist CL invertierbar Dann wird leider DL von unendlicher Reihenfolge sein, aber wir können unsere frühere Prozedur verwenden, um zu schreiben. Mit unseren endlichen Datensätzen können wir in Schwierigkeiten sein, wenn nicht Für die Tatsache, dass es empirisch gezeigt wurde, dass eine gute Annäherung die verteilte Verzögerung am T 3-Term abschneiden wird.2 Was ist die passende Verzögerungslänge für die differenzierten Begriffe, die auf der RHS enthalten sind. Das Problem von zu vielen Verzögerungen verringert die Effizienz Des Schätzers Dies ist ein viel weniger ernstes Problem als das Verwenden von zu wenigen Verzögerungen Wie bereits erwähnt, werden die relevanten Variablen die Vorspannung und die Konsistenz des OLS-Schätzers beeinflussen.3 DF-Tests, um zu sehen, ob es mindestens eine Wurzel gibt Angenommen, es gibt mehr Zum Beispiel könnte man die Parameter des Modells 1-L 2 ytb 1 1-L y t-1 abschätzen. Eins würde dann die DF-Statistik, wie es für den Fall geeignet ist, verwenden, um b 1 0 zu betrachten, wenn b1 0 dann dort ist Sind 2 Wurzeln, wenn es nicht null ist, dann muss man weitergehen und t Est, um zu sehen, ob es eine einzelne Einheit Wurzel Die Prozedur ist in der offensichtlichen Weise verallgemeinert. Wie wissen wir, welche deterministischen Regressoren in das Modell gehören. Die Verfahren, die in der FRB-Produktion Beispiel und in den Problemen 2 und 3 verwendet werden, verwenden kaskadierende Tests von Hypothese Wie in Theil, Principles of Econometrics, Wiley, 1971 gezeigt, reduziert dies das angebliche Signifikanzniveau des Tests in jedem nachfolgenden Schritt. Gleichermaßen würden Richter und seine zahlreichen Coautoren argumentieren, dass das im Flussdiagramm umrissene Verfahren eintritt Das Reich der Pretesting und damit höhere quadratische Fehlerverlust über einen großen Teil des Parameterraums Trotzdem bei der angewandten Arbeit vernachlässigen wir oft diese Einschränkungen und verwenden den Prozess im Flußdiagramm. Ein anderes Beispiel Kaufkraft Parität. Unter PPP, die Währung Abschreibung ist annähernd gleich der Differenz zwischen der inländischen und ausländischen Inflationsraten Das PPP-Modell impliziert. wo pt log des US-Preisniveaus pt log des ausländischen Preisniveaus Et log der Dollar-Preis der Devisen-Dt-Abweichung von PPP zum Zeitpunkt t. Die drei Daten-Serie gelten die Log-Transformation, so dass wir mit Inflationsraten. In bestimmten PPP-Modelle ist es möglich, dass echte Schocks entweder verlangen oder liefern zu verursachen Permanente Abweichungen Intuitiv sollten die Abweichungen nicht bestehen bleiben oder es gab erhebliche Chancen für Gewinn zu nehmen Und trotzdem würde solche Gewinn-und Arbitrage PPP schließlich wiederherzustellen Ein populäres Verfahren in der empirischen Modellierung von PPP ist es, die Serie zu konstruieren. Wenn PPP zu halten ist dann rt Muss mit einem Null-Mittelpunkt stehen. Weiterhin kann es weder Trend noch stochastische Drift geben Um das Material in einem anderen Abschnitt abzuschweifen und zu antizipieren, werden etd und pt als cointegriert, wenn das PPP-Modell wahr ist. Diese spezifische Formulierung des Modells erfordert eine spezifische Kointegration Vektor auf den drei Variablen zu den monatlichen Daten für die Vor-1960 1 - 1971 4, T 136 und nach 1973 1 - 1986 11, T 167 Bretton-Holz-Ära Um die folgenden Ergebnisse zu erhalten, mit Koeffizienten Standardfehler in Klammern. Hinweis, dass eine 2 0 für die letztere Periode Dieser Grund allein in Frage stellt die Gültigkeit der PPP. In keiner Zeit können wir ablehnen die Null einer Einheit Wurzel Die beobachtete t ist Klein von jedem Standard. Die Änderung der Wechselkursregime hat Wechselkurse mehr volatil und unvorhersehbar sehen die SD und SEE. In diesem Beispiel wir nicht ablehnen die Null einer Einheit Wurzel Wir können nicht an das PPP-Modell glauben Aber unser Testverfahren ist Die auf der konstanten Varianz des Fehlerbegriffs beruht, was nicht der Fall zu sein scheint. Phillips und Perron haben korrigierte Teststatistiken für die Instanzen entwickelt, in denen der Fehler ein MA ist, ist vielleicht heterogen, oder es gibt einen strukturellen Bruch in der Data. Structural Change. Wie können wir den Unterschied zwischen einer Serie, die eine strukturelle Pause in ihm hat, aber wäre sonst stationär, und eine Serie, die nicht stationär ist, aber die aufgrund eines Impulses scheint sich wie th zu entwickeln E erste Serie Betrachten Sie ein Modell, in dem es eine Verschiebung in der Intercept. wo DL ist eins für viele aufeinander folgenden Perioden und null sonst Ein Beispiel ist die folgende Abbildung. Die rote Linie ist die ursprüngliche Serie Die blaue Linie ist die einfache Regression von yt Pünktlich a -3 543, b 189 In der Regression von yt auf y t-1 bekommen wir. Applektiv der strukturelle Bruch bewirkt, dass der Koeffizient auf y t-1 in Richtung eins vorgespannt wird Für alle Erscheinungen yt ist nicht stationär, obwohl wir wissen Es ist sowohl vor als auch nach der Pause bei t 50 stationär zu sein. Auch ohne den Test für diesen Fall zu erwarten, würden wir nicht erwarten, dass Dickey-Fuller sehr robust gegen diese Modelle mit einem strukturellen Bruch in ihnen ist. In der Tat ist die beobachtete Teststatistik t 507.Now betrachte ein nicht-stationäres Modell, in dem es einen einmaligen Puls gegeben hat. Wo DP ist einer in einer gegebenen Periode und null sonst Ein Beispiel ist in der folgenden Abbildung. Die rote Linie ist die ursprüngliche Reihe Die blaue Linie ist die Einfache regression von yt on time a -8 086, b 23 3 Es gibt eine offensichtliche Pause bei t 50 Die Regression von yt auf seinem verzögerten Wert gibt uns. Even ohne einen formalen Test, die Größe des Koeffizienten führt uns zu einer Einheit Wurzel zu vermuten, was in der Tat der Fall ist Ohne einen statistischen Test haben wir wirklich Kann diesen Fall nicht von der vorherigen Instanz unterscheiden. Phillips und Perron haben einen Test für dieses Problem entwickelt Betrachten Sie das Arbeitsmodell. In dem DP ist ein Puls gleich Eins in einer Periode und null sonst ist DL eins für einige aufeinanderfolgende Perioden und null sonst. Step 1 Schätzen Sie die Koeffizienten des vollen Modells ab. Schritt 2 Vergleichen Sie die t-Statistiken mit den kritischen Werten in Perron Von besonderem Interesse ist der Koeffizient a 1.Wenn Perron diese Methode verwendet hat, um die Plosser-Nelson-Daten zu analysieren, die er am meisten gefunden hat Makro Zeitreihen sind Trend stationär. Testing die Null-Hypothese der Stationarität gegen die Alternative einer Einheit Wurzel Wie sicher sind wir, dass ökonomische Zeitreihen haben eine Einheit Wurzel. Wir schlagen einen Test der Null Hypothese, dass ein beobachtbarer ser Ies ist stationär um einen deterministischen Trend Die Reihe wird als die Summe der deterministischen Tendenz, des zufälligen Spaziergangs und des stationären Fehlers ausgedrückt, und der Test ist der LM-Test der Hypothese, dass der zufällige Spaziergang Nullabweichung hat. Die asymptotische Verteilung der Statistik wird abgeleitet Unter der null und unter der alternativen, dass die serie differenz-stationär ist Finite Stichprobengröße und Macht werden in einem Monte Carlo Experiment betrachtet Der Test wird auf die Nelson-Plosser Daten angewendet, und für viele dieser Serien kann die Hypothese der Trend Stationarität nicht sein Abgelehnt. Wählen Sie eine Option, um den Zugriff auf diesen Artikel zu finden. Überprüfen Sie, ob Sie Zugriff über Ihre Anmeldeinformationen oder Ihre Institution haben. Check für diesen Artikel woanders. Zitieren Artikel 0.Die zweite und dritte Autoren dankbar die Unterstützung der National Science Foundation. Copyright 1992 Veröffentlicht von Elsevier B V. Enhanced PDF 288 KB. Die asymptotische Theorie der verschiedenen Schätzer auf der Grundlage der Gaußschen Wahrscheinlichkeit wurde für t entwickelt Er Einheit Wurzel und in der Nähe Einheit Wurzel Fällen von einer ersten Ordnung gleitenden durchschnittlichen Modell Vorherige Studien der MA 1 Einheit Wurzel Problem verlassen sich auf die spezielle Autokovarianz Struktur des MA 1 Prozesses, in welchem ​​Fall die Eigenwerte und Eigenvektoren der Kovarianz Matrix von Der Datenvektor hat analytische Formen bekannt In diesem Papier nehmen wir einen anderen Ansatz, um zunächst die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu betrachten, indem wir einen erweiterten Anfangswert als Parameter einbeziehen und dann die genaue Wahrscheinlichkeit durch die Integration des Anfangswertes wiederherstellen. Dieser Ansatz vermittelt die Schwierigkeit Eine explizite Zerlegung der Kovarianzmatrix zu berechnen und kann verwendet werden, um das Einheitswurzelverhalten in bewegten Durchschnitten über die erste Ordnung hinaus zu untersuchen. Die Asymptotik der verallgemeinerten Likelihood-Verhältnis-GLR-Statistik für die Testeinheitswurzeln wird ebenfalls untersucht. Der GLR-Test hat operative Eigenschaften, die mit wettbewerbsfähig sind Der lokal beste invariante unvoreingenommene LBIU-Test von Tanaka für einige lokale Alternativen und dominiert für alle anderen Altern Atives. Artikel information. Dates Zuerst verfügbar in Project Euclid 24. Januar 2012.Permanenter Link zu diesem Dokument. 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